První sportovní vědomosti získal mladý Josef od učitele na měšťance vPardubicích. Svůj první závod na silnici, 7 kilometrů dlouhý, absolvoval ve čtrnácti letech bos. Vroce 1924 běžel vOstřešanech vponožkách obšitých králičí kůží, které ovšem vcestě za třetím místem roztrhal a ztratil. Při přespolním běhu na 8 kilometrů vroce 1925 vLázních Bohdanči vyhrál svelkým náskokem, ale měl být diskvalifikován, protože ztratil cvičku. Cenu mu obhájil funkcionář SK Pardubice a Josef Šulc se stal na dalších 5 let členem tohoto klubu. Vítězných závodů na dráze, silnici i vterénu absolvoval velké množství. Vmaratónu se stal mistrem Československé republiky vletech 1931, 1934 a 1936, vyhrál jako první zČechoslováků slavný košický maratón vroce 1934. Na maratónské trati Mistrovství Evropy 1934 se vTuríně umístil na 9. místě. Vyhrál Masarykův maratón zLánů do Prahy i Štefánikův maratón vBratislavě.

Jeho nejlepším časem na maratónské trati je výkon zroku 1933 – 2:37:31 hodin. Vybojoval si start na Olympijských hrách vBerlíně, tam však vinou velkého vedra skončil až na 38. místě. Vroce 1938 se vrátil do Pardubic a byl hybnou pákou rozvíjející se atletiky vExplosii Semtín a také vrodných Čívicích. Před válkou překonal ještě československé rekordy na 20, 25, 30, 35 kilometrech a dvouhodinovce, vše na nové a skvělé dráze vSemtíně. Vdresu „Explosky“, jejímž byl zaměstnancem, vyhrál i protektorátní mistrovství Čech a Moravy na trati Východočeského maratónu vletech 1940 - 1942.

Po skončení obdivuhodně dlouhé závodní běžecké činnosti se věnoval sportovní střelbě. Josef Šulc zemřel před třiceti lety ve věku nedožitých sedmdesáti roků dne 10. 7. 1977.